§2.1 导数的概念

一、从两个例子来谈导数的概念

变速直线运动物体的速度，是物理上隶属于运动学范畴的问题；平面曲线在一点的切线之斜率，则是一个几何问题。尽管这两个问题有很大的区别，但它们却与一个重要的数学概念 —— 导数有十分密切的关系。

设动点于时刻在直线上所处的位置为，于是，称此函数为位置函数。该如何定义动点在某一时刻的瞬时速度呢?

考虑从到这一时间间隔，质点从位置移动到，其质点运动的平均速度为：

当时间间隔较短时，此比值可近似地看作质点在时刻的速度。要精确地确定质点在时刻的速度，只需令，对上述表达式取极限，如果这个极限存在，记它为

即： (1)

此时，极限值就是质点在时刻的(瞬时)速度。

用matlab摸拟曲线 在点处的割线转动，最终生成曲线在该点的切线，程序为gs201.m。

设曲线是函数的图形，现讨论上一点处的切线问题。另取上一点，于是割线的斜率为

当点沿趋于时，，如果上式极限存在，设为，即：

(2)

就是割线斜率的极限，也就是切线的斜率。从图上可看出，，且是切线的倾角。

二、导数定义

变速直线运动的速度和切线的斜率都归结为求如下极限

这里和分别是自变量的增量和函数的增量，即：

，

而等价于，上述极限可改写成新形式：

由于这类极限在工程技术与自然科学领域里经常遇到，因此，我们有必要对这类特殊形式的极限问题给出一个专门的定义。

1、导数定义

设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量(点仍在该邻域内)时，函数取得增量

如果与之比当时的极限存在，则称函数在处可导，并称这个极限值为函数在处的导数。记作：

(3)

也可记作：

显然，表达式(3)可改写成如下等价的形式：

或

下面我们约定几种说法：

(1)、函数在点处可导时，也称在点具有导数或导数存在。

(2)、如果极限(3)不存在，称函数在点处不可导。

(3)、若时，，则函数在处是不可导的。但为了描述函数的这一特殊性态，我们宁愿称函数在处的导数为无穷大。并赋予它记号：。

2、导函数

如果函数在开区间内的每一点都可导，称函数)在开区间上可导。这时，对任意，都对应着的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，我们此函数为导函数。记作：

导函数的定义只需将(3)式中的换成即可：

注意：

虽然在开区间上任意取值，一经取定，对于极限过程来说，它应被视为常量。

很明显，函数在点处的导数，就是它的导函数在处的函数值。即：

三、求导举例

【例1】利用导数定义，证明下列导数公式

证明：

特款：当时，，该表达式的简明，获益于自然对数。

【例2】试证明函数 在 处不可导。

由此例，我们可引入左、右导数的概念。

如果极限

存在， 则称此极限值为函数在处的左导数(右导数)。记作：

利用函数极限与其左、右极限的关系,很容易想到下述结论：

函数在点处可导的充要条件是左、右导数、存在且相等。

现在， 我们可以给出函数在闭区间上可导的定义：

在开区间内可导， 且 及 都存在。

四、导数的几何意义

由切线问题的讨论可知：

注记：

(1)、当时，,,在点处的切线方程为。

切线平行于轴，即曲线在点具有水平切线，其法线方程为。

(2)、若，，，曲线在的切线垂直于轴，故切线方程为 ，法线方程自然是。

五、函数的可导性与连续性的关系

【命题】若在处可导，则在处连续；

反之，却不一定成立。

证明：

故 （ ，当 时）

从而

故函数在处连续。

反过来，结论不真。例如：在处连续，但不可导。