§2.1
导数的概念
一、从两个例子来谈导数的概念
变速直线运动物体的速度,是物理上隶属于运动学范畴的问题;平面曲线在一点的切线之斜率,则是一个几何问题。尽管这两个问题有很大的区别,但它们却与一个重要的数学概念
—— 导数有十分密切的关系。
设动点于时刻在直线上所处的位置为
,于是
,称此函数为位置函数。该如何定义动点在某一时刻的瞬时速度呢?
考虑从到
这一时间间隔,质点从位置
移动到
,其质点运动的平均速度为:
当时间间隔较短时,此比值可近似地看作质点在时刻的速度。要精确地确定质点在时刻
的速度,只需令
,对上述表达式取极限,如果这个极限存在,记它为
即: (1)
此时,极限值就是质点在时刻
的(瞬时)速度。
用matlab摸拟曲线 在点
处的割线转动,最终生成曲线在该点的切线,程序为gs201.m。
设曲线是函数
的图形,现讨论
上一点
处的切线问题。另取
上一点
,于是割线
的斜率为
当点沿
趋于
时,
,如果上式极限存在,设为
,即:
(2)
就是割线斜率的极限,也就是切线的斜率。从图上可看出,
,且
是切线的倾角。
二、导数定义
变速直线运动的速度和切线的斜率都归结为求如下极限
这里和
分别是自变量的增量和函数的增量,即:
,
而等价于
,上述极限可改写成新形式:
由于这类极限在工程技术与自然科学领域里经常遇到,因此,我们有必要对这类特殊形式的极限问题给出一个专门的定义。
1、导数定义
设函数在点
的某个邻域内有定义,当自变量
在
处取得增量
(点
仍在该邻域内)时,函数取得增量
如果与
之比当
时的极限存在,则称函数
在
处可导,并称这个极限值为函数
在
处的导数。记作:
(3)
也可记作:
显然,表达式(3)可改写成如下等价的形式:
或
下面我们约定几种说法:
(1)、函数在点
处可导时,也称
在点
具有导数或导数存在。
(2)、如果极限(3)不存在,称函数在点
处不可导。
(3)、若时,
,则函数
在
处是不可导的。但为了描述函数的这一特殊性态,我们宁愿称函数在
处的导数为无穷大。并赋予它记号:
。
2、导函数
如果函数在开区间
内的每一点都可导,称函数
)在开区间
上可导。这时,对任意
,都对应着
的一个确定的导数值,这样就构成了一个新的函数,我们此函数为导函数。记作:
导函数的定义只需将(3)式中的换成
即可:
注意:
虽然在开区间
上任意取值,一经取定,对于极限过程
来说,它应被视为常量。
很明显,函数在点
处的导数
,就是它的导函数
在
处的函数值。即:
三、求导举例
【例1】利用导数定义,证明下列导数公式
证明:
特款:当时,
,该表达式的简明,获益于自然对数。
【例2】试证明函数 在
处不可导。
由此例,我们可引入左、右导数的概念。
如果极限
存在,
则称此极限值为函数在处的左导数(右导数)。记作:
利用函数极限与其左、右极限的关系,很容易想到下述结论:
函数在点
处可导的充要条件是左、右导数
、
存在且相等。
现在, 我们可以给出函数在闭区间上可导的定义:
在开区间
内可导, 且
及
都存在。
四、导数的几何意义
由切线问题的讨论可知:
注记:
(1)、当时,
,
,
在点
处的切线方程为
。
切线平行于轴,即曲线在
点具有水平切线,其法线方程为
。
(2)、若,
,
,曲线在
的切线垂直于
轴,故切线方程为
,法线方程自然是
。
五、函数的可导性与连续性的关系
【命题】若在
处可导,则
在
处连续;
反之,却不一定成立。
证明:
故 (
,当
时)
从而
故函数在
处连续。
反过来,结论不真。例如:在
处连续,但不可导。